Prove finali

Algebra e Teoria dei Numeri per le applicazioni crittografiche
Teoria dei numeri elementare, congruenze, campi finiti, residui quadratici e legge di reciprocità
(Neal Koblitz - A course in number theory and cryptography)

Algoritmi di fattorizzazione
Complessità computazionale e fattorizzazione. Algoritmi classici e ottimizzazioni. Implementazione e test
(Neal Koblitz - A course in number theory and cryptography
Richard Crandall and Carl Pomerance - Prime numbers: a computational perspective)

Approfondimenti sulla storia della Teoria dei Numeri
La scienza del numero nel mondo antico. Dal calcolo all'aritmetica greca: Pitagora, Archimede, Diofanto ed Euclide. Gli algebristi italiani del Cinquecento. I contributi di Fermat, Gauss ed Eulero alla Teoria dei Numeri.

Commitment di polinomi
Un commitment è una primitiva crittografica che consente di impegnarsi a un valore (per esempio un polinomio) scelto tenendolo nascosto agli altri, con la possibilità di rivelare il valore impegnato in un secondo momento
(Kate, Zaverucha, Goldberg - Polynomial Commitments
(Justin Thaler - Proofs, Arguments, and Zero-Knowledge, capitolo 14-16)

Conica di Pell e applicazioni
Equazioni diofantee, struttura di gruppo, test di primalità e schemi tipo-RSA. (Bellini, Murru - An efficient and secure RSA-like cryptosystem exploiting Rédei rational functions over conics
Bazzanella, Di Scala, Dutto, Murru - Primality tests, linear recurrent sequences and the Pell conic)

Curve ellittiche
Introduzione alle curve ellittiche: somma dei punti di una curva, struttura di gruppo, curve su campi finiti, problema del logaritmo discreto
(Andrea Corbellini - Elliptic Curve Cryptography: a gentle introduction
Joseph Silverman - The Arithmetic of Elliptic Curves)

Equivalenza di Codici Lineari
Il problema di equivalenza di codici lineari studia quando due codici lineari sono uguali a meno di permutazioni o trasformazioni monomiali sulle loro coordinate

Frazioni Continue
Introduzione alle frazioni continue: risultati di approssimazione e risoluzione di equazioni diofantine. Caratterizzazione di irrazionalità algebriche. Applicazioni alla crittografia, alla fattorizzazione e ai sistemi dinamici discreti     
(Carl Olds - Continued Fractions)

Funzioni Hash
Definizione e proprietà delle funzioni di hash e relative applicazioni in protocolli crittografici. Approfondimento di una specifica funzione di hash a scelta

Interi rappresentabili tramite forme quadratiche
Teorema di Fermat sugli interi rappresentabili come somme di due quadrati. Teorema dei quattro quadrati di Lagrange e sue generalizzazioni. Problema di Waring.
(Harold Davenport - The High Arithmetic)

Introduzione alla Teoria di Galois e applicazioni classiche
Teoria elementare dei campi, discussione dei tre problemi classici di costruzioni con riga e compasso. Teoria di Galois e applicazioni alle equazioni algebriche e al teorema fondamentale dell'algebra

Isomorfismo di Grafi
Definizione del problema di isomorfismo di grafi e basi di teoria della complessità computazionale

Proof of Work
La proof of work (PoW) è un importante protocollo inventato per rendere sicuro un sistema pur in mancanza di una autorità centrale di fiducia, reso famoso da Bitcoin e la Blockchain

Protocollo Sum-check
Introduzione ai protocolli interattivi in crittografia, con particolare attenzione al protocollo sum-check
(Justin Thaler - Proofs, Arguments, and Zero-Knowledge, capitolo 4)

Risoluzione di sistemi polinomiali applicati alla crittografia
Introduzione al MinRank problem e tecniche di risoluzione algebriche
(Daniel Bernstein, Johannes Buchmann, Erik Dahmen - Post-Quantum Cryptography)

Successione di Fibonacci e applicazioni
Dalla successione di Fibonacci alle sue generalizzazioni. Teoria di base delle successioni lineari e ricorrenti e applicazioni

Teoria dei Codici
Introduzione alla teoria dei codici a correzione di errore, utilizzati per rilevare e correggere gli errori nei dati trasmessi o memorizzati: canale di trasmissione e rumore, rilevamento e correzione di errori. Parametri di un codice. Codici lineari. Progettazione di codici
(Riferimenti: Cary Huffman, Vera Pless - Fundamentals of Error-Correcting Codes)

Test di primalità
Criteri di primalità e costo computazionale. Analisi di un test e dei suoi pseudoprimi. Implementazione e test sperimentali (Phyton)
(Paulo Ribenboim - The little book of bigger primes
Richard Crandall and Carl Pomerance - Prime numbers: a computational perspective)

Un protocollo per problemi impossibili: giocare a testa o croce al telefono
Protocolli crittografici per il lancio di una moneta a distanza senza possibilità di barare
(Manuel Blum - Coin flipping by telephone  A protocol for solving impossible problems)